如何理解FFT中时间窗与RBW的关系

作为一种常用的频谱分析工具，快速傅里叶变换(FFT) 实现了时域到频域的转换，是数字信号分析中最常用的基本功能之一。FFT 频谱分析是否与传统的扫频式频谱仪类似，也具有分辨率带宽(RBW) 的概念？如果具有RBW ，那么FFT 的RBW 又与什么因素有关呢？这将是本文要重点给大家介绍的内容。

众所周知，FFT 变换是在一定假设下完成的，即认为被处理的信号是周期性的。图1给出了一正弦波信号的采集样点波形，如果对Frame 1作FFT 运算，则会对其进行周期扩展。显然，在周期扩展的时候 ，造成了样点的不连续，样点不连续等同于相位不连续，相当于引入了相位调制，这将导致产生额外的频率成分，该现象称为频谱泄露。

文章“如何理解FFT中的频谱泄露效应”中已经对频谱泄露效应的机理做了比较深入的推导，此处不再赘述。

图1. 周期扩展引起样点的不连续

频谱泄露产生了原本信号中并不包含的频率成分，具有诸多危害：首先频率测不准了，通常决定信号频率都是选取幅度最高的谱线，但是幅度最高谱线往往并不是载波，因此造成频率测试结果存在比较明显的偏移，这是调相的影响；其次测得的频谱幅度变小了，本来只有一根谱线，发生频谱泄露后产生众多谱线，但是信号总功率是一定的，因此测得的信号幅度一定会减小；另外，频谱泄露会扰乱测试，尤其在观测小信号时，较强的频谱泄露成分可能淹没比较微弱的信号。

如何避免或者降低频谱泄露呢？这就需要使用下文介绍的时间窗(Window) 技术。

如果能够消除样点不连续，就可以消除频谱泄露。为了实现这一点，需要引入时间窗(Window)，时间窗包含的样点数目与信号相同，而且两端的样点值通常为0。在FFT 之前，时间窗与波形相乘，周期扩展后可以保证样点的连续性。

图2以Kaiser Window 为例，给出了时间窗波形、原始波形以及加了时间窗之后的波形。由图可知，引入时间窗后，在周期扩展后并不会造成相位不连续，从而消除频谱泄露效应。

值得一提的是，频谱泄露是无法完全消除的，虽然引入合适的时间窗使得周期扩展后相位连续，但是又等效形成了特殊的射频脉冲信号，所以还会产生一些新的频率成分，只是这些频率成分非常微弱。换句话说，时间窗只能尽量抑制频谱泄露，而无法完全消除！

图2. 引入时间窗以改善频谱泄露效应

在FFT 应用中，时间窗就相当于一个滤波器，不同的时间窗具有不同的频响特性，比如不同的边带抑制和矩形因子等，相应的幅度测试精度也不同。虽然与传统的扫频式频谱仪不同，但是基于FFT 的频谱分析中依然有RBW 的概念，RBW就是指时间窗对应的幅频响应的3dB 带宽，时间窗宽度及类型就决定了RBW 的大小。

RBW 称为分辨率带宽，决定了频谱分析中对多个频率的分辨能力，RBW 越小，分辨率越高。RBW 与时间窗宽度(即Window Time) 成反比，但即使时间窗宽度相同，不同的时间窗类型对应的RBW 也不同，存在一个因子k，并满足如下关系：

下面以矩形时间窗为例，讨论一下RBW 与时间窗宽度具体有什么关系呢？矩形窗的双边带频谱为Sa(ω) 函数，如图3所示，假设窗口时间为T，则在频率为  ±N*2π/T  ( N 为非零正整数) 处均为零点。矩形窗的双边带频谱可以写为如下表达式：

对于图3所示的频谱，相对峰值电平下降3dB的频点位于何处？从电压的角度讲，下降3dB的频点处，幅值降为峰值的 √2/2 。

图3. 矩形窗的频谱特性(双边带频谱)

简便起见，利用图4所示的图解法，令sin(x)/x=√2/2 ，则x≈1.39 。经计算ω=2.78/T ，f=ω/2π≈0.443/T 。因此，图3所示的频谱中，3dB带宽为：

图4. x=1.39处，幅值下降3dB

如前所述，FFT 过程中会进行周期扩展，因此FFT 是将信号当作一个周期信号来对待的。FFT得到的频点也是离散的，这些离散的频点称为freq. bin，两个相邻bin 之间的频间距为周期扩展后总时长的倒数。bin 间距决定了频率分辨率，bin 间距越小，频率分辨率越高。假设进行了N次周期扩展，则bin间距为

类似于扫频式频谱分析，FFT 频谱分析中也有RBW 的概念，尽管不存在IF filter 。在FFT 频谱分析中，RBW 决定于时间窗幅频特性的3dB带宽。不同的时间窗类型，具有不同的RBW 表达式。对于矩形窗，RBW 为

从上式可以看出，矩形窗的RBW 并不等于bin 间距，而往往是大于bin 间距。频谱分析应用中通常提及RBW ，但RBW 与bin 间距存在如下关系

式中k为常系数，取决于时间窗的类型。

常见的时间窗类型包括：Kaiser、Rectangular、Hamming、Hanning、Blackman-Harris、Flat-Top等。下图给出了不同时间窗类型对应的k因子大小。不同的时间窗，频谱泄露、幅度测试精度及RBW 均不同，测试时应该根据待测信号的特点进行选择。

图5. 不同时间窗类型对应的k因子不同

小结

本文重点描述了FFT 频谱分析中的RBW 由来，虽然不像扫频式频谱仪那样具有IF filter ，但是FFT 频谱分析中依然存在RBW 的概念。文中以矩形时间窗为例，通过数学的方式解释了RBW 与时间窗宽度的关系。当采用不同的时间窗时，RBW 与时间窗宽度的关系也是不同的，这完全是由时间窗对应的幅频响应决定的。频谱测试时，应当根据测试的信号选择合适的时间窗，至于如何选择，后面有机会再给大家介绍。