G(jω)=T(当|ω|<ωs/2)，G(jω)=0(当|ω|>=ωs/2)
则理想低通滤波器输出信号y(t)的频谱为：
Y(jω)=X’(jω)G(jω)=X(jω)
因此，在理想低通滤波器的输出端就可恢复原连续时间信号：
y(t)=x(t)
这就是Nyquist定理，即只要采样频率fs>=2fm，其中fm是x(t)的最高频率，则由理想采样信号x’(t)就能不失真的恢复连续时间信号x(t)。但如果信号的最高频率超过了ωs/2（或fm超过了fs/2），那么理想采样信号的频谱中，各次调制频谱就会互相交叠起来，这就是频谱混叠现象，而用基带滤波器就不能不失真地滤出基带频谱，恢复出来的信号相对于x(t)也就失真了。
那么在示波器的波形重建中如何应用Nyquist理论呢？这就是正弦内插(sinx/x内插)，即在实际采样点之间通过正弦内插算法插入足够的点，这些插入的点在采样率满足Nyquist定理时与实际在此位置的值是同样的，这样插入的点与采样的点一起提供足够的点数把波形重建出来。如何进行正弦内插呢？让我们来看看信号x’(t)通过理想低通滤波器的响应过程。由理想低通滤波器的频率特性G(jω)可到其冲激响应为：
g(t)=1/(2π)∫+-∞ G(jω)ejωtdω=T/(2π) ∫+-ωs ejωtdω
=sin(ωs t /2)/ (ωs t /2)
=sin(πt/T)/ (πt/T)
根据卷积公式，通过低通滤波器的信号输出为：
y(t)= ∫+-∞ x’(τ)g(t-τ)dτ
=∑n=-∞ to ∞ x(nT)g(t-nt)
这里g(t-nt)=sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)称为内插函数。
由于y(t)=x(t),因此：
x(t)=y(t)= ∑n=-∞ to ∞ x(nT) sin(π(t-nT)/T)/(π(t-nT)/T)
此公式称为采样内插公式，它表明了连续时间信号x(t)如何由它的采样序列x(nT)来恢复，即x(t)等于x(nT)乘上对应内插函数的总和。在每个采样点上，由于只有该采样值所对应的内插函数不为0，所以很明显，上式保证了在各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形伸展叠加而成。这也正是理想低通滤波器G(jω)中的响应过程。
此内插公式的意义在于证明：只要满足了采样频率大于信号最高频率两倍，整个连续时间信号x(t)可由它的采样序列(或离散时间信号x(nT))恢复，而不丢失任何信息。此时x(nT)完全可以代表x(t)，两者等价，含的信息是一样的，即x(nT)是x(t)的另一种表现形式。但是当采样率不满足采样定理时，x(t)所含的信息比x(nT)多，由x(nT)不能准确恢复x(t)，也就不存在上式的关系。
对于数字示波器来说，被测的数字信号的频谱分量实际上是无穷的，我们为了确保一定的准确度，示波器或放大器的带宽就应该是被测信号的带宽的2倍（高斯频响示波器）或1.4倍（Flat频响示波器），这样保证足够的频谱分量都可以通过放大器，而在采样的时候，应该保证通过放大器的所有的频谱分量都被采集到而不发生频率混叠，这就要求采样率应该是示波器带宽的4倍（高斯频响示波器）或2.5倍（Flat频响示波器）。此处非信号带宽，为什么呢？因为被测的数字信号的频谱分量实际上是无穷的，放大器的滤波作用并非把-3dB带宽的带外信号全部滤掉，而是频响曲线上会拖个尾巴，采样率应该是包括尾巴部分的2倍以上，而非仅仅是-3dB带宽的2倍以上。对于高斯频响示波器因为拖的尾巴较长，所以通过实际计算采样率需要带宽的4倍以上，对于Flat频响示波器，拖的尾巴相对较短，采样率需要带宽的2.5倍以上。如果采样率不能满足此要求，就会发生频谱混叠，就会导致插值的错误，导致波形的失真。
总结
综合上述，信号保真度是数字示波器的核心衡量标准，影响数字示波器信号保真度的主要几个因素是：探头连接部分带宽，探头带宽，示波器带宽和频响，采样率。
如何选择示波器的带宽和实时采样率呢？下面规则帮助我们确定(此规则保证边沿3%测试误差)。
1、知道你的信号的最快上升时间, tr
2、计算信号最高频率分量（或带宽）, Fmax（BWsignal）
Fmax（BWsignal） = 0.4 / tr (20% to 80%)
Fmax（BWsignal） = 0.5 / tr (10% to 90%)
3、计算需要的示波器带宽, BWscope
BWscope = 2 * Fmax(BWsignal) (高斯频响示波器)
BWscope = 1.4 * Fmax(BWsignal)(Flat频响示波器)
4、计算需要的示波器采样率, SRscope
SRscope = 4 * BWscope
SRscope = 2.5 * BWscope (Flat频响示波器)
作者：安捷伦科技专家 孙灯亮
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